Paar Beispiele zur Betragsfunktion in Mathe (11. Klasse Gymnasium). Vielleicht hilft es wem. Fotos werden noch ergänzt. 
Betragsfunktionen
Der Betrag einer Zahl wird als Abstand von 0 definiert. Somit ist z.B. der Betrag von 3 oder -3 gleich 3.
Abstand 3 Abstand 3
3 0 -3
|3| = 3 |-3| = 3
Mann kann also den Betrag einer Zahl weglassen, wenn die Zahl positiv oder Null ist. Falls sie aber negativ ist, dann kann man diese durch ein zusätzliches Minus wieder positiv machen.
In der Funktionsschreibweise sieht das dann so aus:
x für x≥0
f(x) =
-x für x<0
Zeichnen des Schaubildes K von f in ein Koordinatensystem.
Argumentfunktion ohne die Betragsstriche, also die Gerade
f(x) = x f(x) = |x|
Lineare Betragsfunktionen
Bsp.: f(x) = |x - 1|
Stelle f(x) abschnittsweiße, bzw. betragsfrei dar und zeichne K von f.
f(x) = x – 1 f(x) = |x - 1|
Man kann also behaupten, dass unterhalb der x – Achse, hier links von x= 1, alle Punkte an der x – Achse gespiegelt werden müssen, um somit das Schaubild der Betragsfunktion zu erhalten.
Bem.: Falls das Argument eine negative Steigung hat, kann man alle Vorzeichen des Arguments umkehren, da das nichts an der Betragsfunktion ändert, Bsp.: f(2) = |- x - 5| = |- 2 - 5| = |-7| = 7
f(2) = | x + 5|= | 2 +5|= |7| = 7
Dadurch werden manche Funktionen einfacher.
Zusammengesetzte Betragsfunktionen
Bsp. 1: f(x) = |x – 2| + 1
Der Summand + 1 hat nichts mit dem Betrag, bzw. dem Argument zu tun. Er wird einfach am Ende noch dazu addiert.
NS ist x = 2 und Steigung m = 1, bzw. positiv.
Also :
(x – 2)+1 = x - 1 für x≥2
f(x)=
-(x – 2)+1 = - x + 3 für x<2
Bsp.2: f(x) = | x + 5| - | x + 1|
Nullstellen: x= -5 x= -1
Da hier nun zwei Argumente vorliegen und beide ein eigenes VZW, also NS, hat, muss man eine Fallunterscheidung durchführen. Dies kann man am leichtesten mit Hilfe einer Vorzeichentabelle:
x + 5
x + 1
x ≤ -5 -5 < x < -1 x ≥ -1
Nach diesem Schema kann man dann 3 Fälle unterscheiden:
- (x+5) - (- x - 1) = - x – 5 + x + 1 = -4 für x ≤ -5
f(x)= x + 5 – (- x - 1) = x + 5 + x + 1 = 2x + 6 für -5 < x < -1
x + 5 – (x+1) = x + 5 – x - 1 = 4 für x ≥ -1
Wenn man dies nun zeichnen will, muss man einfach nun schauen, wie es sich für die einzelnen Intervalle verhält.
D.h. im Bereich von x ≤ -5 verhält es sich wie -4 usw.
Quadratische Betragsfunktionen
Bsp.: f(x) = |(x+3)(x-1)| = |x²+2x-3|
NS sind x = -3 und x = 1
f(x) = x²+2x-3
